Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

W module tym będziemy rozpatrywać równania rzędu drugiego postaci

\( F(t,y,y^\prime,y^{\prime\prime})=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją ciągłą ze względu na wszystkie swoje zmienne. Rozpatrzymy trzy przypadki.

Przypadek I.
Jeśli \( \hskip 0.3pc F(t,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0.\hskip 0.3pc \)
W tym równaniu \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) nie występuje w sposób jawny.
Dokonujemy podstawienia:

(1)

\( y^{\prime}(t)=u(t) \)

wtedy \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=u^{\prime}(t)\hskip 0.3pc \) i rozpatrywane równanie sprowadza się do równania rzędu pierwszego

\( F(t,u,u^{\prime})=0. \)

Przykład 1:

Rozwiązać równanie

(2)

\( (1+t)^2y^{\prime\prime}=(y^{\prime})^2. \)

Zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)\equiv c\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) jest to dowolna stała, jest jednym z rozwiązań równania ( 2 ).
Szukamy teraz rozwiązań równania ( 2 ), które nie są tożsamościowo równe stałej.
Stosujemy podstawienie ( 1 ) i wówczas otrzymujemy równanie

\( (1+t)^2u^{\prime}=u^2 \)

które jest równaniem rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych. Po przekształceniu do postaci formy różniczkowej i rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy

\( \frac{du}{u^2}=\frac{dt}{(1+t)^2}. \)

Całkując obustronnie powyższe równanie, dostajemy

\( -\frac{1}{u}=-\frac{1}{1+t}+c_1 \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) jest dowolną stałą. Stąd wynika, że

\( y^{\prime}(t)=u(t)=\frac{1+t}{1-c_1(1+t)}. \)

Całkując obustronnie powyższe równanie, otrzymujemy

\( \begin{aligned}y(t)=&\int \left( \frac{1+t}{1-c_1(1+t)}\right) dt=\int\left( \frac{1}{c_1}\frac{c_1(1+t)-1}{1-c_1(1+t)}-\frac{1}{c_1^2}\frac{-c_1}{1-c_1(1+t)}\right) dt=\\&-\frac{1}{c_1}\int dt-\frac{1}{c_1^2}\int \left( \frac{-c_1}{1-c_1(1+t)}\right) dt=-\frac{1}{c_1}t-\frac{1}{c_1^2}\ln \vert 1-c_1(1+t)\vert +c_2.\end{aligned} \)

Przypadek II.
Jeśli \( \hskip 0.3pc F(y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0.\hskip 0.3pc \)
W tym równaniu \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) nie występuje w sposób jawny.
Dokonujemy podstawienia:

(3)

\( y^{\prime}(t)=u(y(t)). \)

Wtedy, ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, mamy

\( y^{\prime\prime}(t)=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dt}=u\frac{du}{dy} \)

i rozpatrywane równanie sprowadza się do równania rzędu pierwszego

\( F(y,u,u\frac{du}{dy})=0, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest funkcją zależną od \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \).

Przykład 2:

Rozwiązać równanie

(4)

\( y^{\prime\prime}-\dfrac{(y^{\prime})^2}{y}=0. \)

Funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)\equiv c\hskip 0.3pc \) jest jednym z rozwiązań równania ( 4 ).
Szukamy teraz rozwiązań równania ( 4 ), które nie są tożsamościowo równe stałej.
Stosujemy podstawienie ( 3 ) i otrzymujemy równanie

\( u\dfrac{du}{dy}-\dfrac{u^2}{y}=0. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) nie jest tożsamościowo równe zero, więc powyższe równanie jest równoważne równaniu

\( \dfrac{du}{dy}-\dfrac{u}{y}=0. \)

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, które po przekształceniu do formy różniczkowej i rozdzieleniu zmiennych można zapisać następująco

\( \dfrac{du}{u}=\dfrac{dy}{y}. \)

Całkując obustronnie powyższe równanie, otrzymujemy

\( \ln\vert u\vert =\ln\vert y\vert+\ln c, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) jest to dowolna stała większa od zera.
Stąd mamy, że

\( y^{\prime}=u=y\cdot c, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) dowolna stała różna od zera.
Po rozdzieleniu zmiennych dostajemy równanie

\( \frac{dy}{y}=c\cdot dt, \)

które następnie obustronnie całkujemy i wówczas otrzymujemy

\( \ln\vert y\vert=ct+\ln \vert c_1\vert. \)

Rozwiązaniem równania ( 4 ) jest zatem funkcja

\( y(t)=c_1\cdot e^{ct}. \)

Przypadek III.
Równania różniczkowe jednorodne rzędu drugiego.

Definicja 1:

Równanie

(5)

\( F(t,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0 \)

nazywamy równaniem jednorodnym stopnia \( \hskip 0.3pc n,\hskip 0.3pc \) jeżeli dla każdego \( \hskip 0.3pc \lambda \in\mathbb{R}\hskip 0.3pc \) mamy

\( F(t,\lambda y,\lambda y^{\prime},\lambda y^{\prime\prime})=\lambda^nF(t,y,y^{\prime},y^{\prime\prime}). \)

W celu rozwiązania równania ( 5 ) dokonujemy podstawienia

(6)

\( y(t)=e^{u(t)}. \)

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu powyższej funkcji: \( \hskip 0.3pc y^{\prime}=e^uu^{\prime}, \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}=e^u((u^{\prime})^2+u^{\prime\prime})\hskip 0.3pc \) i podstawieniu do równanie ( 5 ) przyjmuje ono postać

\( F(t,e^u,e^uu^{\prime},e^u((u^{\prime})^2+u^{\prime\prime}))=0. \)

Przykład 3:

Rozwiązać równanie

(7)

\( yy^{\prime}+t(y^{\prime})^2-tyy^{\prime\prime}=0. \)

Zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)\equiv c\hskip 0.3pc \) jest jednym z rozwiązan równania ( 7 ).
Szukamy teraz rozwiązań równania ( 7 ), które nie są tożsamościowo równe stałej.
Równanie ( 7 ) jest równaniem jednorodnym ( 2 ), ponieważ

\( \begin{aligned}F(t,\lambda y,\lambda y^{\prime},\lambda y^{\prime\prime})=&\lambda y\lambda y^{\prime}+t(\lambda y^{\prime})^2-t\lambda y\lambda y^{\prime\prime}=\lambda^2( yy^{\prime}+t(y^{\prime})^2-tyy^{\prime\prime})=\\&\lambda^2F(t,y,y^{\prime},y^{\prime\prime}).\end{aligned} \)

Stosujemy podstawienie ( 6 ) i otrzymujemy równanie

\( e^{2u}u^\prime+t(e^uu^{\prime})^2-te^{2u}((u^{\prime})^2+u^{\prime\prime})=0. \)

Po przekształceniach otrzymujemy

\( tu^{\prime\prime}=u^{\prime}. \)

Jest to typ równania omawiany w przypadku I, zatem stosujemy podstawienie \( \hskip 0.3pc z=u^{\prime}\hskip 0.3pc \) i otrzymujemy równanie rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych

\( tz^{\prime}=z \hskip 0.3pc \Longleftrightarrow \hskip 0.3pc\frac{dz}{z}=\frac{dt}{t}. \)

Po scałkowaniu stronami ostatniego równania, mamy

\( \ln \vert z\vert=\ln \vert t\vert+\ln c_1 \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) jest to dowolna stała większa od zera.

Stąd \( \hskip 0.3pc u^{\prime}=z=tc_1,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) jest to dowolna stała różna od zera. Po scałkowaniu ostatniej równości otrzymamy \( \hskip 0.3pc u=\frac{t^2}{2}c_1+c_2,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc \) jest to dowolna stała.
Rozwiązanie równania ( 7 ) ma zatem postać

\( y(t)=e^{\frac{t^2}{2}c_1+c_2}. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

Przykład 1:

Przykład 2:

Definicja 1:

Przykład 3: